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欧拉线定理【欧拉线】

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关于欧拉线定理,欧拉线这个很多人还不知道,今天菲菲来为大家解答以上的问题,现在让我们一起来看看吧!

1、三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线。

2、 欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线。

3、 欧拉线的证明:作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D。

4、连结AD、CD、AH、CH、OH。

5、作中线AM,设AM交OH于点G’。

6、 ∵ BD是直径, ∴ ∠BAD、∠BCD是直角。

7、 ∴ AD⊥AB,DC⊥BC。

8、 ∵ CH⊥AB,AH⊥BC, ∴ DA‖CH,DC‖AH。

9、 ∴ 四边形ADCH是平行四边形, ∴ AH=DC。

10、 ∵ M是BC的中点,O是BD的中点。

11、 ∴ OM= DC。

12、 ∴ OM= AH。

13、 ∵ OM‖AH, ∴ △OMG’ ∽△HAG’。

14、 ∴ 。

15、 ∴ G’是△ABC的重心。

16、 ∴ G与G’重合。

17、 ∴ O、G、H三点在同一条直线上。

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